「1=0.999…」の問題

「1=0.999…」の証明問題について少し書きたいと思います。数学の証明は行きつくところまで行くと公理にぶち当たるため、完全な証明はありませんが、なぜこの問題がいまいち納得できないかを考えました。まずは一般によくある証明を3つほど。

分数による証明
0.333...=1/3
両辺に3を掛けて
0.333...×3 = 1
0.999...=1

変数による証明
x=0.999...
10x=9.999...
10x-x=9
x=1

無限等比級数による証明
0.999... = 0.9/(1-0.1) = 0.9/0.9 = 1

さてこの3つの証明ですが、それぞれ問題があります。

分数による証明では「0.333...に3をかけて0.999...」となっていますが、循環小数の掛け算なんて定義されているのか。「0.333...に3をかけて0.999...」となることを証明しない限りこの証明には不備があります。同様に変数による証明でも「9.999...-0.999...=9」としている部分が証明不足です。循環小数の引き算を勝手に飛躍して行っています。最後に無限等比級数による証明ですが、これは公式を使っていますよね。公比のrが（-1<r<1）ならlim(n→∞)r^n=0という前提があります。

何を隠そうここが問題なのです。

「1=0.999…」に疑問を持つ人はこう言うでしょう「『lim(n→∞)r^n=0』って本当？どんだけ掛けてもちょっと残るじゃん！分母がどれだけ大きくなっていっても小さい数はあるでしょ？」

私が思うにこの問題の本質は「1/∞=0」の部分です。分数って分子が0じゃない限り数字として存在するってのが日常生活の常識です。一つのケーキを10人で分けようが1億人で分けようが一人当たりちょっとは貰えるわけです。その人数が増えていってもほんのちょびっとだけど貰えるはずです。

そこで数学者は言うわけです。「いやだって無限だし！無限に分ければ0になるの！アルキメデス！」

記事を書いた日2015年1月